Павел Севастьянов, Дмитрий Севастьянов
Оценка финансовых параметров и риска инвестиций с позиций теории нечетких множеств
("Надежные программы", 1997, №1, сс. 10-18)
     «Кануло в вечность девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического; наступила эпоха разногласий...»
Ф. Энгельс, «Анти-Дюринг»
     Подходы к проблеме. В наиболее общем виде финансовый риск можно рассматривать как степень определенности финансовой потери, выражающейся в:
а) возможности не достичь поставленной цели;
б) неопределенности прогнозируемого результата;
в) субъективности оценки прогнозируемого результата.
     Возможна и другая интерпретация риска - как степени вариабельности дохода, который может быть получен благодаря владению данным видом активов.
     Существует множество подходов к количественной оценке риска, которые обычно представляют собой различные модификации анализа чувствительности конъюнктуры (sensitiv-ity analysis) или анализа вероятностного распределения доходности (probability distributions).
     Например, в рамках рекомендаций Всемирного Банка по анализу инвестиций указываются три основных методики:
- анализ чувствительности, при котором исследуется влияние определенных (5%, 10% и др.) вариаций наиболее важных для проекта входных параметров (размера инвестиций, динамики доходов и расходов, нормы дисконтирования и пр.) на устойчивость оценок эффективности проекта;
- метод статистических испытаний, при котором значения недетерминированных ключевых входных параметров выбираются случайно в соответствии с известной процедурой типа Монте-Карло (при помощи генератора случайных чисел);
- метод сценариев, когда опытные эксперты прорабатывают несколько типовых вариантов развития событий по проекту соответствующих значений динамики выпуска продукции, доходов и расходов и др.      Существуют и жесткие нормативные ограничения риска с четкой формулировкой метода его расчета.      Например, для банков Республики Беларусь для оценки крупных рисков введен максимальный размер риска на одного заемщика.
     Данный показатель представляет собой отношение совокупной задолженности банку по ссудам одного заемщика (включая дочерние предприятия и организации, связанные с ним посредством делового участия), плюс 50% суммы забалансовых обязательств, выданных банком в отношении этого заемщика, к собственному капиталу банка.
     Из совокупной суммы обязательств заемщика исключаются:
- ранее выданные кредиты на пополнение собственных оборотных средств;
- кредиты, выданные под гарантии Правительства, Национального банка Республики Беларусь, под залог правительственных ценных бумаг и Национального банка Республики Беларусь.
     Следует отметить, что этот норматив по методике построения близок к концепции эмпирического риска [1]. Однако его детерминированный характер не позволяет достаточно полно учитывать неопределенность, неизбежно связанную с оценкой будущих событий. Последнее делает его малопригодным для оценки финансового риска инвестиций.
     Традиционно неопределенности, связанные с прогнозированием будущих событий в экономике, интерпретируют с теоретико-вероятностной точки зрения, что, на наш взгляд, во многих практически важных случаях может приводить к абсурдным результатам. Для того, чтобы обосновать столь жесткое утверждение, а также сделать более ясной сущность предлагаемого в статье подхода, проанализируем некоторые наиболее распространенные методики количественной оценки инвестиционного риска.
 
     Неприятности, возникающие при использовании
теоретико-вероятного подхода к оценке инвестиций, и их причины.
     Дальнейшее рассмотрение, для определенности, проведем на примере оценки чистого приведенного дохода, являющегося одним из важнейших финансовых параметров оценки эффективности инвестиций.      Чистый приведенный доход (NPV, net present volume) представляет собой разность дисконтированных на один момент времени (обычно на год начала реализации проекта) показателей дохода и капиталовложений.
     Представим формулу для расчета чистого приведенного дохода при заданной норме дисконтирования (для простоты опуская индексы инфляции и другие неприятности) в виде:
  (1)
где d - величина ссудного процента, называемая нормой дисконтирования (приведения), tn -год начала производства продукции, tc -год окончания строительства по проекту и начала выпуска продукции, KVt - инвестиционные расходы (капитальные вложения) в году t, Pt - поток платежей (доходов) в году t, T - время реализации инвестиционного проекта в годах.
     Обычно NPV оценивается путем задания d равным средней учетной банковской ставке в стране инвестора или равным другому значению, соответствующему норме прибыли при вложении капитала в другие проекты и ценные бумаги.
     Сущность первой методики оценки риска проекта на основе NPV заключается в исчислении размаха вариации NPV исходя из пессимистической ( п ), наиболее вероятной ( в ) и оптимистической ( о ) оценок параметров, входящих в выражение (1). Получаемый размах вариации R= NPVо - NPVп рассматривается как мера риска, ассоциируемого с данным инвестиционным проектом.
     Необходимо отметить, что и пессимистическая, и наиболее вероятная, и оптимистическая оценки задаются экспертами, носят субъективный характер и не связаны с какими-либо вероятностями классической частотной природы. Методика носит чисто эвристический характер и для получения разумных результатов требует неформального анализа в каждой конкретной ситуации ввиду необходимости учета взаимного влияния пессимистических, наиболее вероятных и оптимистических оценок параметров в выражении (1).
     Второй подход основан на экспертной оценке вероятностей появления прогнозируемых значений доходов и инвестиционных расходов. В итоге NPV рассчитывается по той же формуле (1) при замене Pt и KVt на Ppt* Pt и Pkv t *KVt соответственно, где Ppt и Pkvt - экспертные оценки вероятностей соответствующих доходов и расходов в году t.
     При этом почему-то считается [2] , что увеличение риска проекта должно вести к снижению рассчитанных таким образом значений NPV по сравнению со значениями этого параметра, полученными без учета вероятностей. На наш взгляд, это неверно, поскольку разность Ppt* Pt - Pkvt*KVt может оказаться больше разности Pt и KVt , в случае, если вероятности доходов выше вероятности расходов. Однако это не самое главное. Попробуем выяснить смысл вероятности, например, Ppt. Если это вероятность осуществления события, заключающегося в том, что в году t финансовые поступления составят именно Pt, то, строго говоря, с вероятностью 1 - Ppt. можно ожидать поступления любого другого количества денег (возможно даже очень большого), которое никак не определено. Это делает все проводимые оценки некорректными. Ясно, что в подобной ситуации произведения типа Ppt*Pt или Pkvt*KVt не имеют содержательной экономической интерпретации. Иногда их называют математическим ожиданием, что попросту неверно, поскольку математическое ожидание рассчитывается на основе полного распределения вероятности событий, а не путем использования вероятности лишь одного из них.
     Рассмотрим несколько иную ситуацию. Допустим, что для осуществления краткосрочного проекта стоимостью $4000 найдены четыре инвестора, каждый из которых обещает по $1000 с вероятностью 0.8. Чтобы задача была определена, будем считать, что оставшаяся вероятность 0.2 - вероятность ничего не получить от инвестора (такие суровые инвесторы: дают все или ничего - ситуация гипотетическая, но правдоподобная). Рассчитываем математическое ожидание M= 4*(0.2*0+ 0.8*$1000)=$3200. Будет ли эта сумма иметь какой-либо смысл? Очевидно, нет, поскольку в данном случае имеем четыре дискретных события: с вероятностью 0.41 получаем всю требуемую сумму $4000; с вероятностью 0.51 получаем $3000; с вероятностью 0.64 - $2000; с вероятностью 0.8 - $1000;
     Еще один простой пример.
     Предположим, что на основе кредитной истории клиента банка установлено, что вероятность (в строго частотном, а не в субъективном смысле) возврата им ссуды в установленный срок равна 0.8. Чего можно ожидать, если клиенту выдана ссуда $200?
     Ясно, что так называемое математическое ожидание равно $160. Имеет ли смысл эта цифра, если речь шла о вероятности полного погашения ссуды? По-видимому, ожидать от клиента в данном случае $160 - столь же осмысленное занятие, что и игра в орлянку железным рублем в расчете на выпадение 50 копеек.      Все эти пространные рассуждения приведены вовсе не для того, чтобы попытаться подорвать незыблемые твердыни теории вероятностей в ее классическом, частотном, логическом или субъективном вариантах. Просто математика - сильное лекарство, которое требует осторожного использования в каждом конкретном случае в соответствии, в первую очередь, со здравым смыслом, а не с формальными схемами анализа.
     Рассмотренные выше примеры позволяют сделать вывод, что точечные оценки типа «будущая цена чего-либо и ее вероятность», вряд ли имеют экономический смысл и непригодны для оценки риска. Для получения более реальной картины будущего необходимо знать вероятности (в частотной или субъективной интерпретации) различных возможных значений этого чего-либо.
     Поэтому более разумным выглядит подход к оценке риска инвестиций, сущность которого заключается в построении вероятного распределения значений доходности, исчислении стандартного отклонения от средней доходности и коэффициента вариации, который и рассматривается как степень риска, ассоциируемого с данным активом. Таким образом, чем выше коэффициент вариации, тем более рискованным является данный вид актива. Основные процедуры этой методики состоят в следующем [2]: задаются прогнозные оценки значений доходности (Ki) и вероятностей их осуществления (Pi) (все это, естественно, субъективные экспертные оценки);
рассчитывается наиболее вероятная доходность (Кв) по формуле             (2)
рассчитывается стандартное отклонение (Ос) по формуле         (3) рассчитывается коэффициент вариации (V) по формуле                                  (4)
     Действительно, если соответствующим образом отнормировать распределение Pi , чтобы оно стало соответствовать частотному, величина, рассчитываемая по формуле (2), будет соответствовать строгому определению математического ожидания.
     Однако наиболее вероятным значением доходности она будет только в случаях симметричного распределения Pi , во всех остальных случаях математическое ожидание не имеет достаточно ясного экономического смысла и является скорее математической абстракцией. Соответственно теряют смысл параметры Oc и V. Пожалуй, в рассматриваемой ситуации в случае несимметрического распределения (а симметрические гауссовские распределения в реальной жизни - штука довольно редкая) имеют смысл лишь доверительные интервалы (оцениваемые, конечно, не по критерию Стьюдента) и собственно сами исходные распределения. Тогда возникает естественный вопрос о том, как работать с этими интервалами и распределениями, как производить с ними необходимые арифметические операции. По нашему мнению, именно отсутствие соответствующего математического аппарата, реализующего при экономико-математическом анализе арифметику непосредственно для интервалов и распределений, является источником большинства неприятностей при применении теоретико-веро-ят-ност-ных методов. Оказывается, что подходящий математический аппарат (нечетко-интер-валь-ной арифметики) был в общих чертах разработан около тридцати лет назад и с успехом применялся для решения широкого спектра проблем в технике [3], медицине [4] и других отраслях. В экономике этот аппарат почти не использовался (из доступных публикаций назовем лишь работу [5]).
 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКО-ИНТЕРВАЛЬНОЕ
АРИФМЕТИКИ ДЛЯ РАСЧЕТА ФИНАНСОВЫХ ПАРАМЕТРОВ.
     Немного истории. Последние 30 лет ситуацию, сложившуюся в прикладной математике или, точнее, в математической кибернетике, наиболее емко можно было бы охарактеризовать эпиграфом к данной статье. Понимание необходимости разработки эффективного математического аппарата для работы с неопределенностями, в том числе и субъективной природы, осознание недостатков теоретико - вероятностных методов привело к бурному развитию и формированию новых научных дисциплин: интервальной математики, теории нечетких множеств и теории возможностей. В настоящее время вроде бы разобрались что, где, в каких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать, и весь этот комплекс новых теорий и методов (включая теорию вероятностей) понемногу движется к естественному объединению в общую теорию анализа неопределенностей.
     Анализ характера неопределенностей, проявляющихся в финансовой оценке эффективности инвестиций, позволяет сделать вывод, что их адекватная математическая формализация может быть проведена в рамках нечетко-интервального подхода.
     Разработанную методику проиллюстрируем на примере расчета NPV.
     В рамках предлагаемого подхода значения неопределенных параметров Pt, KVt и d задаются в виде нечетких интервалов (рис.1).

Рис. 1. Нечетко-интервальная форма исходных данных:
m(Pt) - функция принадлежности нечеткому интервалу
     Не вдаваясь в теоретические подробности (желающие могут найти их в любой монографии по теории нечетких множеств или ее приложениям) покажем, как строятся нечеткие интервалы или нечеткие числа, что по сути одно и то же.
     На практике эксперты обычно задают нижние - Pt1 (пессимистическая оценка) и верхние - Pt4 (оптимистическая оценка) границы интервалов и интервал наиболее ожидаемых (возможных) значений [Pt2,Pt3] анализируемых параметров. Функция m(Pt) чаще всего интерпретируется как степень принадлежности значений параметра интервалу (в нашем случае [Pt1,Pt4]) и непрерывно изменяется от 0 (внеинтервальные области) до максимального значения, равного 1, в области наиболее возможных значений [2]. Легко заметить, что функция принадлежности является обобщением обычной характеристической функции множества, равной 1, для всех значений параметра, принадлежащих множеству, и нулю для всех остальных.
     Линейный характер функции не является обязательным, однако такая форма является наиболее употребляемой, поскольку позволяет описывать нечеткие интервалы в удобном для вычислений четырехреперном виде, например, Рt={Pt1,Pt2,Pt3,Pt4}.
     Если же эксперт в состоянии задавать субъективно-вероятностные распределения, то после несложной нормировки они могут трансформироваться в нечеткие интервалы любой формы (нормированные, однако, на 1). В этом случае для оперирования с нечеткими интервалами используется метод вычисления по a-уровням, описанный ниже. Отметим, что на практике эксперты обычно могут уверенно говорить лишь о том, что какое-то событие вероятнее другого, но не берутся утверждать насколько вероятнее. Известно, что такая форма задания предпочтений называется линейным порядком и может быть описана только линейной функцией, поэтому трапециидальная форма нечетких интервалов типа рис.1, является наиболее предпочтительной при использовании данных экспертного опроса.
     В итоге точные значения параметров Pt, KVt и d, используемых в выражении (1), заменяются их нечетко-интервальными аналогами, после чего с использованием правил оперирования с нечеткими числами производятся необходимые расчеты. В качестве результата получается также нечеткий интервал (нечеткое число) для NPV.
     Для иллюстрации рассмотрим следующую модельную ситуацию:
Имеется инвестиционный проект, в котором фаза строительства продолжается два года с инвестициями KV0 и KV1 для каждого года соответственно. Получение прибыли от проекта начинается сразу же по окончании строительства и заканчивается через два года (P2 и P3). Ставка ссудного процента d остается постоянной в течение всего инвестиционного цикла. Соответствующие исходные нечеткие интервалы через свои реперные точки задавались следующим образом:
KV0={2,2.8,3.5,4}; KV1={0,0.88,1.50,2};
KV2={0,0,0,0}; KV3={0,0,0,0};
P0={0,0,0,0}; P1={0,0,0,0};
P2={6.5,7.5,8.0,8.5}; P2={5.5,6.5,7.0,7.5}
ставка ссудного процента задавалась одним и тем же для всех лет проекта интервалом d={0.08,0.13,0.22,0.35}.
Результирующий нечеткий интервал для NPV представлен на рис.2.

Рис. 2. Итоговый интервал NPV
     Наиболее универсальная техника нечетко-интервальных вычислений, являющаяся прямым следствием принципа обобщения в теории нечетких множеств [6], основана на разложении исходных нечетких интервалов на так называемые a-уровни (рис.1), то есть на четкие интервалы с одним и тем же значением степени принадлежности с дальнейшим применением техники четко-интервальных вычислений [7] и восстановлением итоговых нечетких интервалов по полученным в расчетах интервалам a-уровней. Применительно к нашему случаю задача сводится к отысканию всех четких интервалов, соответствующих a-уровням NPV из выражения:
[NPV]a =      (5)
где [ ]a - обычные четкие интервалы, соответствующие a-уровням.
     Необходимо отметить, что главным достоинством этой методики является независимость от формы задаваемых нечетких интервалов. Однако при существенно нелинейном характере функций принадлежности этим интервалам достижение достаточной точности вычислений требует весьма мелкой сетки дискретизации по a-уровням.
     Техника вычислений значительно упрощается при наличии нечетких интервалов трапециидальной формы (рис. 1) без нелинейных участков.
     Пусть мы имеем два таких нечетких интервала А={а1, а2, а3, а4} и В={в1, в2, в3, в4}. Следуя [8], представим их в другой эквивалентной форме А={ан, ав, , }, В={вн, вв, , }, где ан=а2, ав=а3 - верхнее и нижнее модальное значения, соответствующие границам четкой части нечеткого интервала;
= а2-а1,  =а4-а3 - левый и правый коэффициенты нечеткости (рис. 3.).
Рис. 3.
Тогда, исходя из принципа обобщения и учитывая кусочно-линейный характер поведения функций принадлежности нечетких интервалов, для их суммы А+В получаем нечеткий интервал
{ан+вн , ав+вв , + , + }(6)
для разности А-В интервал
{ан-вв , ав-вн , + , + } (7)
     Несколько более громоздкие выражения получены для действий умножения и деления трапециидальных нечетких интервалов.
     Ясно, что использование выражений типа (6), (7) для реализации арифметических операций с нечеткими интервалами намного экономичнее техники разложения по a-уровням.
     В настоящее время авторами разработаны и реализованы на языке С++ оба рассмотренных варианта нечетко-интервальной арифметики. Использование объектно-ориен-ти-ро-ван-ного программирования позволило сделать это таким образом, что после задания исходных четырех реперных точек каждого участвующего в расчетах интервала, все дальнейшие действия с ними можно проводить как с обычными числами. Это особенно удобно в тех случаях, когда нечеткие интервалы Pt, и KVt или другие важные параметры не задаются экспертами, а являются результатом многоступенчатых калькуляционных расчетов при использовании нечетко заданных исходных данных.
 
ОЦЕНКА РИСКА
     Вернемся к анализу рассмотренного выше примера нечетко-интервального расчета NPV. Полученный нечеткий интервал NPV (рис.2) уже содержит в себе всю исходную объективную и субъективную (иногда даже не вербализованную) информацию о возможных прогнозируемых рисках на каждом из этапов проекта, неявно задаваемую экспертами при формировании нечетких интервалов Pt,, KVt и d.      Поэтому в принципе предъявление лицу, принимающему решения, итогового рисунка типа рис.2 (который позволяет количественно, через значения функции принадлежности, оценить риск как степень возможности получения того или иного значения NPV) должно быть достаточным. Ясно, что в этом случае получается целое распределение рисков, что очень неплохо, поскольку увеличивает объем информации для принятия решений.
     В то же время человеческая природа и традиции требуют прямого и однозначного ответа на вопрос: а каков же все-таки финансовый риск данного проекта? То есть требуется оценить риск проекта одним числом.
     Для этого мы воспользовались следующим свойством нечетких множеств. Пусть A - некоторое нечеткое подмножество в X, xОA и m(A) - характеризующая его функция принадлежности. Тогда дополнением к A является нечеткое подмножество `A с функцией принадлежности, задаваемой как m(`A)=1-m(A). В отличие от обычных четких подмножеств пересечение A и `A не пусто, то есть AЗ`A= B, где B - непустое нечеткое подмножество. Ясно, что чем ближе A к `A, тем больше мощность множества B и тем сильнее A и `A отличаются от четких множеств.
     Пользуясь этим обстоятельством, Р.Егер (США) предложил семейство мер четкости нечетких подмножеств      (8)
и соответствующих мер нечеткости                           (9)
     Определение (9) соответствует естественным, интуитивно понимаемым требованиям к мере нечеткости. Если A-нечеткое подмножество на X и m(A) его функция принадлежности, то должны выполняться следующие требования:
1) dd(A)=0, если A - четкое подмножество;
2) dd(A) достигает максимума при m(A)=1/2 для xОX;
3) dd(А1)>dd(A), если m(х)<m(y). xОA1; yОA.
Доказано, что этим требованиям удовлетворяет мера, аналогичная мере количества энтропии Шеннона, если вместо вероятностей в ней использовать функцию принадлежности.
В простейшем и наиболее полезном случае p=1 выражение (9) трансформируется к виду
                   (10)
     Из последнего выражения видно, что мера нечеткости изменяется от 0 при m(A)=1 (абсолютно четкое подмножество) до 1 при m(A)=1/2 (максимальная степень неопределенности, нечеткости).
     В нашем случае наибольший интерес представляет мера четкости получаемого нечеткого интервала NPV, которую можно лингвистически интерпретировать как степень риска или степень неуверенности прогноза получения чистого приведенного дохода в интервале [NPV1,NPV4]. Действительно, чем более четкий, более «прямоугольный» интервал мы получаем, тем больше степень неопределенности, а, значит, и риск. На первый взгляд это утверждение кажется парадоксальным, однако любой четкий интервал, не содержащий какой-либо дополнительной информации об относительной предпочтительности лежащих внутри него значений, содержит меньше полезной информации, чем построенный на его основе нечеткий интервал. В последнем случае дополнительная информация, снижающая неопределенность, обусловлена наличием функции принадлежности интервалу.
     Надо сознаться, что весьма популярное изложение разработанной методики в значительной степени скрывает проблемы и внутренние противоречия используемых нами теории нечетких множеств и интервальной математики, а также массу подводных камней, с которыми довелось столкнуться при доведении методики до уровня работающего программного обеспечения.
 
НЕСКОЛЬКО СЛОВ В ЗАКЛЮЧЕНИЕ
     «И это всё ? - спросит искушенный читатель. А где же IRR - коэффициент внутренней окупаемости, срок окупаемости, рентабельность?» Отыскание этих параметров в нечетко-ин-тер-вальной форме является нетривиальной задачей, требующей подробных разъяснений, что и будет сделано в дальнейших публикациях.
     Последнее замечание.
     Предлагаемый подход к оценке чистого приведенного дохода естественным образом порождает два критерия оценки: собственно нечеткий интервал NPV и степень неуверенности его прогноза (степень риска). Таким образом, задача становится уже двухкритериальной со всеми вытекающими отсюда неприятностями, связанными с различной значимостью критериев, их антагонистичностью и пр. Это также решаемая проблема, причем в более общей постановке, включающей в качестве критериев не только финансовые параметры [9].
 
ЛИТЕРАТУРА
         1. Мироненко А. Модель эмпирических рисков по ссудам и клиентам // Надежные программы. - 1995. - № 2. - С. 9-11.
         2. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. - М.: Финансы и статистика, 1995.-432 с.
         3. Севастьянов П.В., Туманов Н.В. Многокритериальная идентификация и оптимизация технологических процессов. - Мн.: Навука i тэхнiка, 1990. - 224 с.
         4. Севастьянов П. В., Остапенко В.А., Дымова Л.Г. Обработка данных скрининга периферической крови детей, пострадавших от аварии на чернобыльской АЭС (методика и результаты обследования) // Гематология и трансфузиология. - 1996. - Т. 41. -№ 1. - С. 33-36.
         5. Кофман А. , Хил Алуха Х. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями. - Мн.: Вышэйшая школа, 1992. - 216 с.
          6. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. -165 с.
          7. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986.-220 c.
          8. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. - М.: Радио и связь, 1990. - 288с.
          9. Севастьянов П.В., Парков В.Ф. Методика многокритериальной оценки инновационных проектов // Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение: Тез. 5 Межгосударственной науч. конф. - Минск, 1996.
     
          Сведения об авторах.
Севастьянов Павел Владимирович, 1952 года рождения. Окончил Куйбышевский госуниверсит по специальности «теоретическая физика». Доктор технических наук, профессор кафедры экономической информатики Могилевского машиностроительного института. Сфера научных интересов: математическое моделирование, оптимизация в условиях неопределенности и идентификация всего, что удается и за что платят. Последнее хобби - финансовая математика.
Севастьянов Дмитрий Павлович, 1976 года рождения. Студент IV курса Могилевского технологического института, специализируется в области объектно - ориентированного программирования, пишет на С, С++ for Windows, Clipper, Pascal, FoxPro for Windows (программы для бизнеса и финансовой сферы).
  

         

       

E-mail: welcome@np.belpak.minsk.by

      

Click Here to Return Back

Webmasters, contact Belarus.net support
Click Here to visit Belarus.net